значение непрерывной функции
f (x), являющееся или максимумом, или минимумом. Точнее: непрерывная в точке
х0 функция
f (x) имеет в
x0 максимум (минимум), если существует окрестность (
x0 + δ,
x0 - δ) этой точки, содержащаяся в области определения
f (
x)
, и такая, что во всех точках этой окрестности выполняется неравенство
f (
x0)
, ≥
f (
x) [соответственно,
f (
x0) ≤
f (
x)]. Если при этом существует такая окрестность, что в ней
f (
x0) >
f (
x) [или
f (
x0)
<< f (
x)] при
х ≠
x0, то говорят о строгом, или собственном, максимуме (минимуме), в противном случае - о нестрогом, или несобственном, максимуме (минимуме) (на
рис. 1 в точке А достигается строгий максимум, в точке В - нестрогий минимум). Точки максимума и минимума называются точками экстремума. Для того чтобы функция
f (
x) имела Э. в некоторой точке
x0, необходимо, чтобы она была непрерывна в
x0 и чтобы либо
f`(
x0)
= 0 (точка А на
рис. 1), либо
f`(
x0) не существовала (точка С на
рис. 1). Если при этом в некоторой окрестности точки
x0 производная
f'(
x) слева от
x0 положительна, а справа отрицательна, то
f (
x) имеет в
x0 максимум; если
f'(
x)
слева от
x0 отрицательна, а справа положительна, то - минимум (первое достаточное условие Э.). Если же
f'(
x) не меняет знака при переходе через точку
x0, то функция
f (
x) не имеет Э. в точке
x0 (точки D, Е и F на
рис. 1). Если
f (
x) в точке
x0 имеет
п последовательных производных, причём
f'(
x0) =
f``(
x0) =...= f
(n-1) (
x0)
=0, a
f (n)(
x0)≠
0, то при
п нечётном
f (
x) не имеет Э. в точке
x0, а при
п чётном имеет минимум, если
f (n) (
x0) > 0, и максимум, если
f (n) (
x0)
< 0. Э. функции не следует смешивать с наибольшим и наименьшим значениями функции (См.
Наибольшее и наименьшее значения функции)
.
Аналогично Э. функции одного переменного определяется Э. функции нескольких переменных. Необходимым условием Э. является в этом случае обращение в нуль или же несуществование частных производных первого порядка. Например, на рис. 2 частные производные равны нулю в точке М, на рис. 3 в точке М они не существуют. Если в некоторой окрестности точки М (х0, y0) существуют и непрерывны первые и вторые частные производные функции f (x, у) и в самой точке f'x = f'y = 0,
Достаточные условия Э. функций многих переменных сводятся к положительной (или отрицательной) определённости квадратичной формы
Рис. 1. к ст. Экстремум.
Рис. 2. к ст. Экстремум.
Рис. 3. к ст. Экстремум.
Рис. 4. к ст. Экстремум.